REFUERZO

MATERIAL DE APOYO  MATEMATICA      

ECO. EDGAR GUAÑA

OCTAVO AÑO

Triángulo equilátero

Tiene los 3 lados y ángulos iguales.

Cuadrado

Tiene 4 lados y ángulos iguales.

Pentágono regular

Tiene 5 lados y ángulos iguales.

Hexágono regular

Tiene 6 lados y ángulos iguales.

Heptágono regular

Tienen 7 lados y ángulos iguales.

Octágono regular

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono regular

Tiene los 9 lados y ángulos iguales.

Decágono regular

Tiene 10 lados y ángulos iguales.

Endecágono regular

Tiene 11 lados y ángulos iguales.

Dodecágono regular

Tiene 12 lados y ángulos iguales.

Tridecágono regular

Tienen 13 lados y ángulos iguales.

Tetradecágono regular

Tiene 14 lados y ángulos iguales.

Pentadecágono regular

Tiene 15 lados y ángulos iguales.

Hexadecágono regular

Tiene 16 lados y ángulos iguales.

Heptadecágono regular

Tiene 17 lados y ángulos iguales.

Octadecágono regular

Tiene 18 lados y ángulos iguales.

Eneadecágono regular

Tienen 19 lados y ángulos iguales.

Icoságono regular

Tiene 20 lados y ángulos iguales.

NOVENO AÑO

Sólo se pueden sumar monomios semejantes.

La suma de dos monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ

2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

2x² y³ + 3x² y³ z

DECIMO AÑO OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA  / EJERCICIOS EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3     2x4  -  x3  - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo) +    -5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10          (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________    -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4             (grado 2) B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1      (grado 3)     0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo) +    4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo) ____________________    4x3  - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3  - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x    5x3  - 4x2 + x + 9 +    0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________    5x3 + 0x2 - x  + 6

PRIMERO BGU

Ecuación cuadrática
Fórmula general

< Ecuación cuadrática

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: .
Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de que cumplen con la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9

FISICA PRIMERO BGU

Vamos a explicar el movimiento de caída libre de los cuerpos. También te recomendamos que veas el vídeo de la parte de abajo para entender bien las Fórmulas de caída libre de física.

   Para entender como se resuelven este tipo de problemas y como usar las fórmulas, lo mejor es hacerlo resolviendo problemas de caída libre. Veamos primero las fórmulas y luego algunos problemas.

 El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre (Caída libre), se puede calcular mediante las formulas de caída libre que son las siguientes:

   Fórmulas del Movimiento de Caida Libre

a). V = Vo +- gt  (si es caida se suma el producto gt, si el cuerpo sube se resta el producto gt)

 Ojo el signo menos de la gravedad depende si el cuerpo sube o baja. Si el cuerpos subiera la gravedad actuaría en contra de su movimiento. si el cuerpo cae la gravedad actuaría a favor del movimiento

b). Vm = (vo + v)/2C

c). Y = -0.5 gt² + vo t + Yo

d). v²= -2gt (Y - Yo)
  
   Donde V es velocidad final, g la gravedad (en la tierra 9,8m/s), Vo velocidad inicial, Vm velocidad media, t es el tiempo, la y es la altura final (si cae en el suelo será cero), la Yo es la altura inicial desde donde se suelta el objeto. Ojo en algunos libros veremos como a las Y se les llama h o altura.


Las Ecuaciones Dinámicas en Caída libre son las siguientes:

V² = Vo² - 2g( Y – Yo)

Y = Yo + Vo t – ½ g t²

V = Vo – g t

Y - Yo = ½ (V + Vo) t

   Además de las ecuaciones de cinemática, hay que considerar algo muy importante en los ejercicios de caída Libre, y es; La ubicación del Sistema Referencial o inercial, ya que apartír de allí dependerán los signos y los valores de “Y” y “Yo”.

   Los signos se considerarán negativos si realizamos las mediciones hacia abajo. Veamos ejemplos para aclararnos.

Ejemplo N º 1

Supongamos que un objeto se deja caer desde la parte superior de una torre:

   CASO I

Ubicamos el sistema referencial en el piso.

“Yo”: es igual a la altura de la torre

“Y”: es cero; ya que es el momento cuando toca el piso.

   CASO II

Ubicamos el sistema referencial en la parte superior de la Torre.

“Y”: es igual a la altura de la torre, (es el momento cuando el objeto toca el piso, pero con signo negativo).

Para ese instante la velocidad del objeto vale cero.

“Yo”: es igual a cero; (es el punto de partida)

Ejemplo N º 2

Supongamos que un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, desde la parte superior de una torre:

   CASO I

Ubicamos el sistema referencial en el piso.

“Yo”: es igual a la altura de la torre

“Y” : es la altura máxima que alcanza el objeto, medido desde el punto de partida, (pero en el resultado hay que tener en cuanta la altura de la torre mas lo que sube el objeto producto de la fuerza que se le impuso al lanzarlo)

Para ese instante la velocidad del objeto vale cero.

“Y” será igual a la altura de la torre, pero con signo negativo; cuando se pregunta por el tiempo que tarda en tocar el piso o la velocidad al llegar al piso.

   CASO II

   Ubicamos el sistema referencial en la parte superior de la Torre.

“Yo”: es igual a cero

“Y” : es la altura máxima que alcanza el objeto, medido desde el punto de partida, (pero para el resultado hay que tener en cuenta la altura de la torre mas lo que sube el objeto producto de la fuerza que se le impuso al lanzarlo)

   Para ese instante la velocidad del objeto vale cero.

“Y” será igual a la altura de la torre, pero con signo negativo, cuando se pregunta por el tiempo que tarda en tocar el piso o la velocidad al llegar a este.

   Resolver los siguientes problemas:

   En todos los casos usar g = 10 m/s ².

Problema n° 1) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.

a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.

b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?.

Respuestas:

a) 43

b) 50 m/s

SEGUNDO BGU

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Ejemplo

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

Los elementos a_ij con i = j, o sea a_ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a_ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A^t , la segunda fila de A es la segunda columna de A^t, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces A^t es de orden n ´ m.

Ejemplo

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A^t, es decir, si a_ij = a_ji " i, j.

Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si a_ij = –a_ji " i, j.

Ejemplos

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplos

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplos

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 " i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 "j<i.

TERCERO BGU

Fórmula del interés simple

El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I = C · i · t

donde i está expresado en tanto por uno y t en años.

Ejercicios:

1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Resolución:

Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t

El interés es de 6 000 pesos

2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

? = C·i·t

3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Resolución:

I = ?·i·t

El saldo medio ha sido de 48 500 pesos.

4. Un préstamo de 20 000 PTA se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Resolución:

Los intereses han ascendido a:

22 400 - 20 000 = 2 400 pesos I = C·?·t

Aplicando la fórmula I = C · i · t

La tasa de interés es del 12 %.

5. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Resolución:

Aplicando la fórmula I = C · i · t

12 000 = 300 000 =: 0,08 · t

I = C·i·?

El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.