OCTAVO AÑO:
Multiplicación de números
enteros
La multiplicación
de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
-3 * -5 = 15 primero multiplicamos los signos menos por menos es igual a más y 3 por 5 es igual a 15, como el producto es positivo no es necesario colocarle signo. Entonces el producto es de 15 positivos
4 * -8 = -32
3 * 7 = 21
En caso de multiplicar más de 2 factores el producto se obtiene por asociación. Ejemplo:
5 * -3 * 4 * -5 = 300 se multiplica primero los signos y luego los factores. También se puede usar la propiedad asociativa y quedaría así:
(5 * -3) * (4 * -5) =
-15 * -20 = 300 el producto es positivo
NOVENO AÑO:
Multiplicar
fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo
porque el procedimiento no varía.
La
multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1.- Por
numerador el producto de numeradores.
2.- Por
denominador la multiplicación de:
denominadores por denominadores.
Ejemplo: 
Obsérvese que
para representar un entero en forma de fracción se le escribe la unidad como
denominador.
OPERACIONES CON RADICALES
- Sumas y restas
Para que
varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea
tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) 
O
sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
O
sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) 
Estos radicales no son semejantes pues los
radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical
todos los factores que se puedan:
Estos radicales no son semejantes pues los
radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical
todos los factores que se puedan:
Ahora
si son semejantes y podemos sumarlos
c) 
No son semejantes
No son semejantes
se suman los
que son semejantes
y ya no podemos
hacer nada más
PRIMERO BGU
Método de sustitución (SISTEMA DE ECUACIONES)
1.
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema.
2. Se sustituye la expresión
de esta incógnita en la otra ecuación del sistema, obteniendo un ecuación con
una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se
sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos
constituyen la solución del sistema de ecuaciones.
Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por sustitución
1. Despejamos
una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones del sistema. Elegimos la
incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2. Sustituimos
en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos
la ecuación obtenida:
4. Sustituimos
el valor obtenido en la variable despejada.
5.
Solución
SEGUNDO BGU
Graficando funciones polinomiales
Para graficar cualquier función polinomial, puede iniciar encontrando los ceros reales de la función y el comportamiento final de la función.Los pasos involucrados para graficar funciones polinomiales son:
1. Prediga el comportamiento final de la función.
2. Encuentre los ceros reales de la función. Compruebe si es posible de reescribir la función en forma factorizada para encontrar los ceros. De otra manera, use la regla de los signos de Descartes para identificar el número posible de ceros reales.
3. Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.
4. Grafique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos.
5. Asegúrese que la gráfica sigue el comportamiento final como se predijo en pasos anteriores.
Ejemplo:
Grafique la función polinomial x3 – 2x2
– 3x . Prediga el comportamiento final de la función.
El grado de la función polinomial es impar y el coeficiente principal es positivo.
El grado del polinomio es 3 y habría 3 ceros para las funciones.
La función puede factorizarse como x ( x + 1)( x – 3). Así, los ceros de las funciones son x = –1, 0 y 3.
Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.
Grafique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos
TERCERO BGU
Suma de términos de una progresión aritmética
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquellos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos
Arriba se han escrito los siete primeros términos de la
progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que
la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos
equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante
propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una
progresión aritmética, por grande que ésta sea.
Sea la progresión aritmética de diferencia d :
a1,a2,a3,⋯,an−2,an−1,an
Sumemos el primer y último términos:
a1+an=a1+(a1+(n−1)d)
Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos.
Éstos serán de la forma a1+k
y an−k,
siempre que (n−k)>0.Aplicando (I)
a1+k=a1+kd
an−k=a1+(n−k−1)d
Sumamos y obtenemos:
a1+k+an−k=2a1+(n−1)d
el mismo resultado que el obtenido para a1+an.Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
a1+an=a1+k+an−k
