REFUEZO PARA LOS ESTUDIANTES DE LOS CATS AYORA - JUAN MONTALVO

OCTAVO AÑO:

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

Ejemplo:
-3 * -5 = 15 primero multiplicamos los signos menos por menos es igual a más y 3 por 5 es igual a 15, como el producto es positivo no es necesario colocarle signo. Entonces el producto es de 15 positivos
4 * -8 = -32
3 * 7 = 21
En caso de multiplicar más de 2 factores el producto se obtiene por asociación. Ejemplo:
5 * -3 * 4 * -5 = 300 se multiplica primero los signos y luego los factores. También se puede usar la propiedad asociativa y quedaría así:
(5 * -3) * (4 * -5) =
-15 * -20 = 300 el producto es positivo

NOVENO AÑO:

Multiplicar fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo porque el procedimiento no varía.

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

1.- Por numerador el producto de numeradores.

2.- Por denominador la multiplicación de:  denominadores por denominadores.

     

Ejemplo:

Otros casos interesantes de la multiplicación son los siguientes:

1. Multiplicación de fracción por entero.

Obsérvese que para representar un entero en forma de fracción se le escribe la unidad como denominador.

2. Multiplicación de fracción por número mixto.

El número mixto se representa por su fracción equivalente, dividiendo la parte entera en tercios.

DECIMO AÑO.

OPERACIONES CON RADICALES

1. Sumas y restas 

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a)                O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

 b)                       Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

 

 Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

 

 c)  No son semejantes

 

 se suman los que son semejantes

 y ya no podemos hacer nada más

PRIMERO BGU 

Método de sustitución (SISTEMA DE ECUACIONES)

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones del sistema.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación del sistema, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones por sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones del sistema. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

SEGUNDO BGU

Graficando funciones polinomiales

Para graficar cualquier función polinomial, puede iniciar encontrando los ceros reales de la función y el comportamiento final de la función.
Los pasos involucrados para graficar funciones polinomiales son:
1. Prediga el comportamiento final de la función.
2. Encuentre los ceros reales de la función. Compruebe si es posible de reescribir la función en forma factorizada para encontrar los ceros. De otra manera, use la regla de los signos de Descartes para identificar el número posible de ceros reales.
3. Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.
4. Grafique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos.
5. Asegúrese que la gráfica sigue el comportamiento final como se predijo en pasos anteriores.

Ejemplo:

Grafique la función polinomial x³ – 2x² – 3x .
Prediga el comportamiento final de la función.
El grado de la función polinomial es impar y el coeficiente principal es positivo.

El grado del polinomio es 3 y habría 3 ceros para las funciones.
La función puede factorizarse como x ( x + 1)( x – 3). Así, los ceros de las funciones son x = –1, 0 y 3.
Haga una tabla de valores para encontrar varios puntos.

Grafique los puntos y dibuje una curva continua suave para conectar los puntos

TERCERO  BGU

Suma de términos de una progresión aritmética

Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquellos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.

Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general a_n = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Sea la progresión aritmética de diferencia d :

a1,a2,a3,⋯,an−2,an−1,an

Sumemos el primer y último términos:

a1+an=a1+(a1+(n−1)d)

(IV)a1+an=2a1+(n−1)d

Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la forma a1+k y an−k, siempre que (n−k)>0.
Aplicando (I)

a1+k=a1+kd

an−k=a1+(n−k−1)d

Sumamos y obtenemos:

a1+k+an−k=2a1+(n−1)d

el mismo resultado que el obtenido para a1+an.
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

a1+an=a1+k+an−k