OCTAVO AÑO:

Definición

Conceptualmente, la división describe dos nociones relacionadas, aunque diferentes, la de «separar» y la de «repartir».¹ ² De manera formal, la división es una operación binaria que a dos números asocia el producto del primero por el inverso del segundo. Para un número no nulo, la función «división por ese número» es el recíproco de «multiplicación por ese número». De este modo, el cociente $a \$ dividido $b \$ se interpreta como el producto $\ a$ por $\frac{1}{b}$ .

Si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

$\rm dividendo = divisor \times cociente + resto.$

Etimología: la palabra deriva del latín dividere: partir, separar.

Notación

En álgebra y ciencias, la división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo escrito sobre el divisor. Por ejemplo $\dfrac{3}{4}$ se lee: tres dividido cuatro. También puede emplearse una barra oblícua: $3/4\,$ ; este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por computadora, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del código ASCII.

Otro modo indicar una división es por medio del símbolo óbelo ( $\div$ ) (también llamado "signo de la división"). Este símbolo también se usa para representar la operación de división en sí, como es de uso frecuente en las calculadoras. Otras variantes son los dos puntos (:) o el punto y coma (;).

Propiedades

La división no es propiamente dicho una "operación" (es decir, una ley de composición interna definida por todas partes), sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.

no-conmutativa, contraejemplo: $5 \div 3 \neq 3 \div 5$ ;
no-asociativa, contraejemplo: $12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3$ ;
pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

$\dfrac a1 = a$ ;

pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

$\mbox{ si } b \neq 0, \dfrac 0b = 0$ ;

fracciones equivalentes:

$\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc\$ .

Algoritmos para la división

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Algoritmo_de_la_divisi%C3%B3n.JPG

Ejemplo de una división.

Hasta el siglo XVI fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la división larga y a la postre (sustituido por ésta como método predilecto de división). El proceso usual de división (división larga) suele representarse bajo el diagrama:

		$\rm Cociente \,$
$\rm Divisor \,$		$\rm Dividendo \,$
		$\rm Resto \,$

NOVENO AÑO:

Dividir fracciones

Dale la vuelta a la segunda fracción y multiplica.

Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda. Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1

1	÷	1

2		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4

4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4

2		1		2 × 1		2

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	2

2

(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)

Ejemplo 2

1	÷	1

8		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4

4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4

8		1		8 × 1		8

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	1

8		2

DECIMO AÑO:

Operaciones con radicales

Las raíces que se encuentran dentro del signo radical pueden realizar operaciones entre sí.
Pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con determinadas condiciones o reglas.
Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical).
(Ver: Suma y resta de radicales)
(Ver: Operaciones combinadas)

Producto o multiplicación de radicales
Multiplicar radicales del mismo índice
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice

Multiplicar radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
(Ver: Producto o multiplicación de radicales)

Cociente o división de radicales
Dividir radicales del mismo índice
Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice
Raiz_Operaciones02

Dividir radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
(Ver: División de radicales)

Potencia de radicales

(Ver: Potenciación de radicales)

Raíz de un radical
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.

Ejemplo:

(Ver: Raíz de un radical)

Racionalizar
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo cual facilita el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos, para eliminar los radicales del denominador.
a) Raiz_Operaciones06

Se multiplican el numerador y el denominador por

.
b) Raiz_operaciones09

Se multiplican el numerador y el denominador por

.

c) Raiz_Operaciones12

PRIMERO BGU:

Inecuaciones lineales o inecuaciones de primer grado

Suponemos que ya conocemos los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) que usamos para relacionar un número con otro.
Escribimos, por ejemplo, 4 >–1 para señalar que 4 es mayor que –1. También podemos escribir –2 < 3 para señalar que –2 es menor que 3.
Ejemplos como estos se conocen como desigualdades.
Sabido esto, diremos que una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: “mayor que”(>); “menor que” (<); “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤). En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella.
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:

Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe:

Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Tendremos:   4x − 3 + 3> 53 + 3
                         4x > 53 +3
                         4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).
Tendremos ahora:     x > 56 ÷ 4
                                       x> 14
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

TERCERO BGU:

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, que se llama razón de la progresión.

Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.

Ejemplos.
La sucesión 3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2.
La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,...... es una progresión geométrica de razón 0.1.
La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,....... es una progresión geométrica de razón 1/4.

Término general

Nos interesa disponer de una fórmula que permita calcular el valor de cualquier término de la progresión, si se conocen su primer término a₁y la razón r.
Por definición de progresión geométrica, es:

a₂ = a₁·r a₃ = a₂·r = (a₁·r )·r = a₁·r² a₄ = a₃·r = (a₁·r² )·r = a₁·r³

Y, en general, a_n = a₁·r^n-1, que es la fórmula del término general de la progresión.
En la siguiente escena, puedes representar progresiones geométricas en el plano cartesiano. Utiliza los controles de la parte inferior para modificar el valor de la razón y observa qué ocurre con la sucesión en los casos r<, 0

RAIZ

miércoles, 5 de noviembre de 2014

REFUERZOS