PRIMERO BGU: ANGULO ENTRE DOS
VECTORES
Ángulo
entre dos vectores,
trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al cual hay que girar uno de
los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de co-dirección con el
otro vector.
Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un
número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores
pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo A = (Ax,
Ay), y en tres dimensiones, A = (Ax, Ay,
Az). Dos vectores A y B
pueden están inclinados en un ángulo θ respecto uno del otro (Figura I); la forma más
sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto
escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:
θ = arccos
[( A·B ) / ( |A| |B| )]
Fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores
El
ángulo entre dos vectores A = (Ax,
Ay, Az) y B = (Bx, By,
Bz) se determina a partir de la siguiente fórmula:
θ = arccos [( A·B )
/ ( |A| |B| )]
Donde:
- AB es el producto escalar de A y B.
- |A| y |B| son los módulos de cada vector.
Ejercicios
- Calcular el ángulo entre los vectores A = (2, 4) y B = (-2 , 3).
Calculamos
el producto escalar de ambos vectores:
A
· B = AxBx+ AyBy=
(2)(-2) + (4)(3) = – 4 + 7 = 3
Calculamos
los módulos de ambos vectores:
|A|
= √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ] = √ [ (2)2
+ (4)2 ] = √ [ 4 + 16 ] = √20
|B|
= √ [ (Bx)2 + (By)2 ] = √ [ (- 2)2
+ (3)2 ] = √ [ 4 + 9 ] = √13
Sustituimos
los resultados anteriores en la fórmula:
θ = arccos [( A·B )
/ ( |A| |B| )] = arccos [ 6 / ( √20√13 )] =
=
arccos( 6 / √260 ) =
=
1,18 rad
Como
1 radian ≅ 57.296 °, entonces:
θ = 67,6 °
- Calcular el ángulo entre los vectores A = (-1, 3, 4) y B = (5, -2, 7).
Calculamos
el producto escalar de ambos vectores:
A · B = AxBx+ AyBy+
AzBz = (-1)(5) + (3)(-2) + (4)(7) = – 5 – 6 + 28 = 17
Calculamos
los módulos de ambos vectores:
|A|
= √ [ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2
] = √ [ (-1)2 + (3)2 + (4)2 ] = √
[ 1 + 9 + 16 ] = √26
|B|
= √ [ (Bx)2 + (By)2 + (Az)2
] = √ [ (5)2 + (-2)2 + (7)2 ] = √ [ 25 +
4 + 49 ] = √78
Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:
θ = arccos
[( A·B ) / ( |A| |B| )]
= arccos [ 17 / ( √26√78 )] =
= arccos( 17 / √2028 ) =
= 1,562 rad
Como 1 radian ≅ 57.296 °,
entonces:
θ = 89,5 °
La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo
es igual a 1. Cabe recordar que el módulo es la
cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un gráfico.
El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector
que aparece en un espacio euclídeo.
Otro de los nombres por los cuales se conoce el vector unitario es vector
normalizado, y aparece con mucha frecuencia en problemas de diversos
ámbitos, desde las matemáticas hasta la programación informática. Es posible
obtener el producto interno o producto escalar de dos vectores
unitarios averiguando el coseno del ángulo que se forma entre ellos. El producto de un
vector unitario por un vector unitario, de este modo, es la proyección escalar
de uno de los vectores sobre la dirección establecida por el otro vector.
Vectores unitarios para los ejes cartesianos:
