SEGUNDO
BGU: ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio |
x 2 + y 2 − 3x + 4y − 1 = 0
a partir de ella podemos encontrar el centro y el radio de esa circunferencia.
Para hacerlo, existen dos métodos:
Primer método
La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r 2 , que es la forma de la ecuación ordinaria ,
De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como
|
(a + b) 2 , que dasarrollado queda como (a + b) + (a + b) a 2 + ab +ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Primer término al cuadrado (x) 2 , más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5) 2 |
Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término −la a de (a + b) 2 − y la y corresponde al segundo −la b de (a + b) 2 −
Determinar el Centro y Radio de una Circunferencia por el método de Trinomio al Binomio Perfecto [Calculo]
Determinar el Centro y Radio de una Circunferencia.Veremos como hallar el centro y radio de una circunferencia dada una ecuación general.
La ecuación que se nos da es:
X2 + Y2 – 6X + 2Y – 15 = 0
Paso 1. Completar trinomios al cuadrado perfecto.
Esto es, acomodar de la ecuación general del mayor al menor, empiezo con X, después Y y termino con cocientes.
¿Por qué los cuadros? Por que así sabremos como hacer del trinomio un binomio, aparte de que así se establece la regla para convertirlos. Ahora lo siguiente.
Paso 2. Utilizar el procedimiento algebraico para completar el trinomio.
Esto quiere decir que para saber los valores que faltan al los cuadros vacios, debemos sacar primero Raíz cuadrada, después el resultado elevarlo el doble, y al final elevarlo al cuadrado. Todo este procedimiento se le hará primero a la X y después a la Y. continuo…
√X2 = X Se eleva X al doble, que es 2X y se divide por su similar
-6X = -3 Acá se eliminaron semejantes, y se eleva al cuadrado
2X
(-3)2 = 9 Este resultado se sustituye en los primeros 2 cuadrados. Queda:
Ahora vamos a sacar valor de Y
√Y2 = Y Se eleva Y al doble, que es 2Y y se divide por su similar
2Y = 1 Acá se eliminaron semejantes, y se eleva al cuadrado
2Y
(1)2 = 1 Este resultado se sustituye en los primeros 2 cuadrados. Queda:
Paso 3. Indicar cada trinomio en forma de binomio al cuadrado perfecto.
Ya que tenemos nuestra ecuación que es:
X2 – 6X + 9 + Y2 + 2Y + 1 = 15 + 9 + 1
X2 – 6X + 9 + Y2 + 2Y + 1 = 25
Debemos ahora convertir el trinomio en binomio. ¿Cómo? Sacándole raíz a la X2 y Y2 con los números sin letra, es decir sin constantes.
X2 – 6X + 9 + Y2 + 2Y + 1 = 25
√X2 √9 |√Y2 √1
X 3 Y 1
Y quedaría de la siguiente forma.
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
Los signos se otorgan de X el (-6X) y de Y el (+2Y). Puros signos.
Paso 4. Determinar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia.
Ahora, recordamos la formula de la Ecuación Cartesiana.
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
Para sacar el Punto Centro, debemos ver que números coinciden con la formula.
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
El X si esta
El signo (-) si esta
El h vale entonces 3
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
El Y si esta
El signo (-) no esta, entonces es negativo el numero
El K vale entonces -1
(X – 3)2 + (Y + 1)2 = 25
El radio de 25 es 5. Entonces ya tenemos el Pc y radio!
Pc(3 , -1) y r = 5. Ahora graficamos.
Y listo! Nuestro problema queda resuelto. Se ve muy laborioso pero en realidad es sumamente fácil. Acá les dejo otro ya sin explicaciones hecho directamente.
Ecuación General
X2 + Y2 – 8X + 10Y – 12 = 0
Paso 1
Paso 2
√X2 = X = 2X
-8X = -4
2X
(-4)2 = 16
√Y2 = Y = 2Y
10Y = 5
2Y
(5)2 = 25
Paso 3
X2 – 8X + 16 + Y2 + 10Y + 25 = 53
√X2 √16 √Y2 √25
(X – 4)2 + (Y + 5)2 = 53
Paso 4
(X – 4)2 + (Y + 5)2 = 53
(X – h)2 + (Y – K)2 = r2
h = 4
k = -5
r = 7.3
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