NOVENO AÑO: PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS
En matemáticas, el producto
cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto,
cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que
el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo
elemento pertenezca al segundo conjunto.
¿Que es el producto cartesiano?
También
llamado no muy usualmente como conjunto producto y es el conjunto de
todas combinaciones de pares ordenados de dos conjuntos dados tal que la
primera componente pertenece a uno de los conjuntos y la segunda componente al
siguiente conjunto.
Se
que es obvio pero igual vale mencionarlo (por si acaso), el producto cartesiano
de dos conjuntos no tiene nada que ver con el producto de números naturales,
excepto con su cardinal (número de elementos) que indica cuantos pares
ordenados hay en un producto cartesiano, pero esto ya lo veremos más adelante.
El producto cartesiano de dos conjuntos, es el
conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos
de dos conjuntos. Un par ordenado o una dupla de dos elementos, estará
compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro
conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis
y separados por una coma. Es decir dado dos conjuntos A y B, el producto
cartesiano estará formado por los pares ordenados (a,b) en donde el primer
elemento a pertenecer al Conjunto A y el segundo elemento b pertenece al
conjunto B. Expresado simbólicamente tenemos:
A x B =
{(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B}
En donde nos dice que el producto cartesiano de AxB,
está formado por los pares ordenados (a,b), tal que el primer elemento a
pertenece al conjunto B y el segundo elemento b pertenece al conjunto B.
Ejemplo 1.
Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).
Hallamos el producto cartesiano de AxB
={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}
Hallamos el producto cartesiano de
BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}
Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)}
La representación gráfica de un producto cartesiano
se puede hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas, diagrama
cartesiano o un diagrama de árbol.
Ejemplo 2.
Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el
producto cartesiano de AxB, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas,
diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de
A x B ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}
Para productos cartesianos de más de dos conjuntos,
las duplas estarán formadas por más de dos elementos, y en estos se suelen
nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos 3-dupla, triple, tripleta, terna o
triada, para 4 elementos 4-dupla o cuádrupla, para 5 elementos 5-dupla o quíndupla,
para 6 elementos 6-dupla o sixdupla, para 7 elementos 7-dupla o sepdupla, para
8 elementos 8-tupla o ocdupla, para 9 elementos 9-dupla y así sucesivamente.
Ejemplo 3.
Sea A={3,4}, B={5,7} y C={1,2} representar
gráficamente el producto cartesiano de AxBxC, con una tabla cartesiana, un
diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto
cartesiano de AxBxC={(3,5,1)(3,5,2)(3,7,1)(3,7,2)(4,5,1)(4,5,2)(4,7,1)(4,7,1)}
La representación gráfica se lo realizara cuando
regresemos a las tutorías presenciales
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