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SEGUNDO BGU: ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio

Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia :
x ² + y ² − 3x + 4y − 1 = 0
a partir de ella podemos encontrar  el centro y el radio de esa circunferencia.
Para hacerlo, existen dos métodos:
Primer método
La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r ² , que es la forma de la ecuación ordinaria ,
De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como

(a + b) 2 , que dasarrollado queda como (a + b) + (a + b) a 2 + ab +ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Primer término al cuadrado (x) 2 , más el doble del producto del primero por el segundo término  2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5) 2

Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el primer término y b el segundo del binomio. Este término ( b ) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al cuadrado (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²
Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término  −la a de (a + b) ² − y la y corresponde al segundo −la b de (a + b) ² −

Determinar el Centro y Radio de una Circunferencia por el método de Trinomio al Binomio Perfecto [Calculo]

Determinar el Centro y Radio de una Circunferencia.
Veremos como hallar el centro y radio de una circunferencia dada una ecuación general.
La ecuación que se nos da es:
X² + Y² – 6X + 2Y – 15 = 0
Paso 1. Completar trinomios al cuadrado perfecto.
Esto es, acomodar de la ecuación general del mayor al menor, empiezo con X, después Y y termino con cocientes.

¿Por qué los cuadros? Por que así sabremos como hacer del trinomio un binomio, aparte de que así se establece la regla para convertirlos. Ahora lo siguiente.
Paso 2. Utilizar el procedimiento algebraico para completar el trinomio.
Esto quiere decir que para saber los valores que faltan al los cuadros vacios, debemos sacar primero Raíz cuadrada, después el resultado elevarlo el doble, y al final elevarlo al cuadrado. Todo este procedimiento se le hará primero a la X y después a la Y. continuo…

√X² =  X   Se eleva X al doble, que es 2X y se divide por su similar
-6X =   -3   Acá se eliminaron semejantes, y se eleva al cuadrado
2X
(-3)² =   9   Este resultado se sustituye en los primeros 2 cuadrados. Queda:

Ahora vamos a sacar valor de Y
√Y² =  Y   Se eleva Y al doble, que es 2Y y se divide por su similar
2Y =   1   Acá se eliminaron semejantes, y se eleva al cuadrado
2Y
(1)² =   1   Este resultado se sustituye en los primeros 2 cuadrados. Queda:

Paso 3. Indicar cada trinomio en forma de binomio al cuadrado perfecto.
Ya que tenemos nuestra ecuación que es:
X² – 6X + 9 + Y² + 2Y + 1 = 15 + 9 + 1
X² – 6X + 9 + Y² + 2Y + 1 = 25
Debemos ahora convertir el trinomio en binomio. ¿Cómo? Sacándole raíz a la X² y Y² con los números sin letra, es decir sin constantes.
X² – 6X + 9 + Y² + 2Y + 1 = 25
√X² √9  |√Y² √1
X                3       Y                 1
Y quedaría de la siguiente forma.
(X – 3)² + (Y + 1)2 = 25
Los signos se otorgan de X el (-6X) y de Y el (+2Y). Puros signos.
Paso 4. Determinar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia.
Ahora, recordamos la formula de la Ecuación Cartesiana.
(X – h)2 + (Y – K)² = r²
Para sacar el Punto Centro, debemos ver que números coinciden con la formula.
(X – 3)² + (Y + 1)² = 25
El X si esta
El signo (-) si esta
El h vale entonces 3
(X – 3)² + (Y + 1)² = 25
El Y si esta
El signo (-) no esta, entonces es negativo el numero
El K vale entonces -1
(X – 3)² + (Y + 1)² = 25
El radio de 25 es 5. Entonces ya tenemos el Pc y radio!
Pc(3 , -1) y r = 5. Ahora graficamos.

Y listo! Nuestro problema queda resuelto. Se ve muy laborioso pero en realidad es sumamente fácil. Acá les dejo otro ya sin explicaciones hecho directamente.
Ecuación General
X² + Y² – 8X + 10Y – 12 = 0
Paso 1

Paso 2

√X² =  X  =  2X
-8X =  -4
2X
(-4)² =  16
√Y² =  Y  =  2Y
10Y =  5
2Y
(5)² =  25

Paso 3
X² – 8X + 16 + Y² + 10Y + 25 = 53
√X² √16  √Y² √25
(X – 4)² + (Y + 5)² = 53
Paso 4
(X – 4)² + (Y + 5)² = 53
(X – h)² + (Y – K)² = r²
h = 4
k = -5
r = 7.3

PRIMERO DE BACHILLERATO: (Por favor realice esta tarea y envie al WHATSAPP 0969697503 HASTA EL DOMINGO 29 D EMARZO 6H00 PM )

PRIMERO DE BACHILLERATO: RESTA Y COMBINACION  LINEAL DE VECTORES

SUMA Y RESTA DE VECTORES EN UN PARALELOGRAMO

Si colocamos u y v con origen común y completamos un paralelogramo:  La diagonal cuyo origen es el de u y v es el vector suma, u+v La diagonal que va del extremo de v al extremo de u es u-v Para entenderlo mejor recuerda el primer método de sumar vectores y la igualdad de vectores: u+v = AB + BC = AC = u+v

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única.

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:
La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

              Nombre

Dirección

Sentido

Módulo

Punto de aplicación

Magnitudes vectoriales

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Representación de los vectores.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.7​ 8​

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.3​4​5​

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

• A ,   a ,   ω , {\displaystyle \mathbf {A} ,\ \mathbf {a} ,\ {\boldsymbol {\omega }},} | A | ,   | a | ,   | ω | , {\displaystyle |\mathbf {A} |,\ |\mathbf {a} |,\ |{\boldsymbol {\omega }}|,}A → ,   a → ,   ω → , {\displaystyle {\vec {A}},\ {\vec {a}},\ {\vec {\omega }},}| A → | ,   | a → | ,   | ω → | , {\displaystyle |{\vec {A}}|,\ |{\vec {a}}|,\ |{\vec {\omega }}|,}A ,   a ,   ω , {\displaystyle A,\ a,\ {\omega },}A = M N → , B = O P → {\displaystyle \mathbf {A} ={\overrightarrow {MN}},\mathbf {B} ={\overrightarrow {OP}}\,}u ^ , v ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ,\mathbf {\hat {v}} }

Clasificación de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.

• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.3​ En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i {\displaystyle \mathbf {i} \,} , j {\displaystyle \mathbf {j} } , k {\displaystyle \mathbf {k} } paralelos a los ejes de coordenadas x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , z {\displaystyle z} positivos. Los componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

a = ( a x , a y , a z ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})} o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

a = a x i + a y j + a z k {\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\,\mathbf {i} +a_{y}\,\mathbf {j} +a_{z}\,\mathbf {k} } Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a x {\displaystyle a_{x}} , a y {\displaystyle a_{y}} , a z {\displaystyle a_{z}} , son los componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base)