PRIMERO DE BACHILLERATO: RESTA Y COMBINACION LINEAL DE VECTORES
SUMA Y RESTA DE VECTORES EN UN PARALELOGRAMO
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Una combinación
lineal de dos o más vectores es el vector que se
obtiene al sumar esos vectores multiplicados
por sendos escalares.
Cualquier
vector se puede poner como combinación lineal
de otros que tengan distinta dirección. Esta combinación
lineal es única.
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:
La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.
El módulo
o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El sentido,
indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta
soporte.
El
punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual
corresponde la característica vectorial representado por
el vector.
El nombre o denominación es la
letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
Por lo tanto en un vector podemos
diferenciar:
Nombre
Dirección
Sentido
Módulo
Punto de aplicación
Magnitudes vectoriales
Representación gráfica de una
magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores
cartesianos.
Representación de los vectores.
Frente a aquellas magnitudes
físicas, tales como la masa, la presión,
el volumen,
la energía,
la temperatura,
etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas
en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad,
la aceleración,
la fuerza,
el campo eléctrico, etc., que no quedan
completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una
dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición
a las primeras llamadas escalares.
Las magnitudes vectoriales quedan
representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres
dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector
queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección,
la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales
ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo
que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.7 8
Se representa como un segmento
orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha".
Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la
"punta de flecha" indica su sentido.345
Notación
Las magnitudes vectoriales se
representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas
de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos
manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha
sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).
Clasificación de vectores
Según los criterios que se
utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden
distinguirse distintos tipos de los mismos:
Vectores libres: no están
aplicados en ningún punto en particular.
- Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
- Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Vectores unitarios: vectores de
módulo unidad.
Vectores concurrentes o angulares:
son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto.
También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.
Vectores opuestos: vectores de
igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.3
En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que
la dirección también indica el sentido.
Vectores colineales: los vectores
que comparten una misma recta de acción.
Vectores paralelos: si sobre un
cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.
Vectores coplanarios: los vectores
cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
Componentes de un vector
Componentes del vector.
Un vector en el espacio euclídeo
tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores
unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen
una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los
vectores unitarios se representan por i {\displaystyle \mathbf {i} \,} , j {\displaystyle \mathbf {j} } , k {\displaystyle \mathbf {k} } paralelos a los ejes de coordenadas
x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , z {\displaystyle z} positivos. Los componentes del vector en una base vectorial
predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
a = ( a x , a y , a z )
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})} o expresarse como una
combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de
coordenadas cartesiano, será
a = a x i + a y j + a z k
{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\,\mathbf {i} +a_{y}\,\mathbf {j}
+a_{z}\,\mathbf {k} } Estas
representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a x {\displaystyle a_{x}} , a y
{\displaystyle a_{y}} , a z
{\displaystyle a_{z}} , son los componentes de un
vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes
vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están
implicadas operaciones matrices
(tales como el cambio de base)
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