PRIMERO BGU

PRIMERO BGU: ANGULO ENTRE DOS VECTORES

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Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de co-dirección con el otro vector.

 

Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo A = (A_x, A_y), y en tres dimensiones, A = (A_x, A_y, A_z). Dos vectores A y B  pueden están inclinados en un ángulo θ respecto uno del otro (Figura I); la forma más sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:

θ = arccos [( A·B ) / ( |A| |B| )]

Fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores

 

El ángulo entre dos vectores A = (A_x, A_y, A_z) y B = (B_x, B_y, B_z) se determina a partir de la siguiente fórmula:

θ = arccos [( A·B ) / ( |A| |B| )]

Donde:

• AB es el producto escalar de A y B.
• |A| y |B| son los módulos de cada vector.

Ejercicios

1. Calcular el ángulo entre los vectores A = (2, 4) y B = (-2 , 3).

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

A · B = A_xB_x+ A_yB_y= (2)(-2) + (4)(3) = – 4 + 7 = 3

Calculamos los módulos de ambos vectores:

|A| = √ [ (A_x)² + (A_y)² ] = √ [ (2)² + (4)² ] = √ [ 4 + 16 ] = √20

|B| = √ [ (B_x)² + (B_y)² ] = √ [ (- 2)² + (3)² ] = √ [ 4 + 9 ] = √13

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

θ = arccos [( A·B ) / ( |A| |B| )] = arccos [ 6 / ( √20√13 )] =

= arccos( 6 / √260 ) =

= 1,18 rad

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

θ = 67,6 °

2. Calcular el ángulo entre los vectores A = (-1, 3, 4) y B = (5, -2, 7).

Calculamos el producto escalar de ambos vectores:

A · B = A_xB_x+ A_yB_y+ A_zB_z = (-1)(5) + (3)(-2) + (4)(7) = – 5 – 6 + 28 = 17

Calculamos los módulos de ambos vectores:

|A| = √ [ (A_x)² + (A_y)² + (A_z)² ]  = √ [ (-1)² + (3)² + (4)² ] = √ [ 1 + 9 + 16 ] = √26

|B| = √ [ (B_x)² + (B_y)² + (A_z)² ] = √ [ (5)² + (-2)² + (7)² ] = √ [ 25 + 4 + 49 ] = √78

Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:

θ = arccos [( A·B ) / ( |A| |B| )] = arccos [ 17 / ( √26√78 )] =

= arccos( 17 / √2028 ) =

= 1,562 rad

Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:

θ = 89,5 °

La idea de vector unitario refiere al vector cuyo módulo es igual a 1. Cabe recordar que el módulo es la cifra coincidente con la longitud cuando el vector se representa en un gráfico. El módulo, de este modo, es una norma de la matemática que se aplica al vector que aparece en un espacio euclídeo.

Otro de los nombres por los cuales se conoce el vector unitario es vector normalizado, y aparece con mucha frecuencia en problemas de diversos ámbitos, desde las matemáticas hasta la programación informática. Es posible obtener el producto interno o producto escalar de dos vectores unitarios averiguando el coseno del ángulo que se forma entre ellos. El producto de un vector unitario por un vector unitario, de este modo, es la proyección escalar de uno de los vectores sobre la dirección establecida por el otro vector.

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:

Vectores unitarios para los ejes cartesianos: